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usdt官网接口(www.caibao.it):困扰菲尔兹奖得主数十年的高维几何难题,被90后华人博士后解决了

admin2021-03-0936

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原题目:困扰菲尔兹奖得主数十年的高维几何难题,被90后华人博士后解决了

机械之心报道

编辑:小舟、陈萍

克日,Bourgain 截面问题与 KLS 料想数学难题,被一位 90 后华人博士解决,并获得数学领域着名学者的赞扬。

比利时数学家 Jean Bourgain 于 1994 年获菲尔兹奖,以表彰他在巴拿赫空间、和谐剖析和遍历理论上的研究功效。他被以为是这个时代更具独创性、最敏锐的剖析学大师之一。

20 世纪 80 年月中期,Jean Bourgain 提出了一个关于高维形状的问题,看似简朴,却困扰了他数十年,未能解决。

Jean Bourgain

最近这一数学难题被一位华人统计学博士攻克。功效一经公布,就迅速引起了数学、理论盘算机科学、统计学等多个领域科学家的关注。

哈佛大学盘算机科学教授、微软研究院前新英格兰首席研究员 Boaz Barak 发推祝贺。并示意这是一个异常主要的突破,加速了对近似凸体体积的研究。

困扰数学家多年之久的难题:Bourgain 截面问题

Bourgain 截面问题可以归结为以下简朴问题:假设一个凸形的体积为 1,使用低一维的平面临该形状举行切割,获得的截面面积是否都极小,或至少有一个截面的面积稀奇大?

Bourgain 预测存在面积很大的低维截面。稀奇是,他推测存在一个与维度无关的通用常数,使得每个形状都至少包罗一个面积大于该常数的截面。

Bourgain 的料想看起来似乎一定是准确的......

但证实该料想的难点在于:高维形状中的情形往往与我们人类的低维直觉南辕北辙。例如,在维度为 10 以上的情形下,可以制作一个立方体和一个球,其中立方体的体积比较大,然则每个穿过立方体中央的截面面积都比穿过球中央的截面小。

这一料想不只困扰了 Bourgain 一个人,以色列魏茨曼科学研究所的研究员 Milman 与 Boáz Klartag 也在该问题上钻研了很长时间。

现在,Bourgain 的料想被证实是准确的:华人统计学博士后 Yuansi Chen在去年 11 月于 arXiv 上揭晓的论文《An Almost Constant Lower Bound of the Isoperimetric Coefficient in the KLS Conjecture》已经证实可以通过 KLS 料想来解决 Bourgain 截面问题。

论文地址:https://arxiv.org/pdf/2011.13661v2.pdf

KLS 料想

KLS 料想是凸几何中最主要的料想之一。这个有 25 年历史的料想,是关于把一个形状切割成两等份的更佳方式,它蕴含了 Bourgain 的料想。更主要的是,KLS 料想是统计学和盘算机科学中许多问题的焦点,好比热量在凸形中扩散需要多长时间,或者一个随机游走者从一个起点走若干步才气到达一个真正随机的位置。

与 Bourgain 截面问题类似,KLS 料想中也有一个简朴的问题:假设你想将一个苹果切成巨细相等的两部门,而且计划把它们放在一边以备后用。苹果内外面 *** 在空气中会酿成棕色,因此你要使其尽可能小。在所有可能的切口中,哪一个会更大水平地削减 *** 的外面?

在这个问题中,苹果可以代表凸出的形状,若何能让截面的面积最小呢?由于很难确定更佳曲线切口,有三位研究者就想知道若是只允许直线切割,情形会有多糟糕。这三位研究者是 Ravi Kannan、László Lovász 和 Miklós Simonovits。1995 年,他们料想:「纵然只能用直线切割,情形也不会稀奇糟:存在一个通用常数,使得更佳平面切口的外面积至多即是整体更佳切割外面积的常数倍。」

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虽然纵然 Kannan、Lovász 和 Simonovits 无法证实他们的料想,但正如佐治亚理工学院的 Santosh Vempala 所说:「这真是一个绝妙的看法。」三位研究者没有确立一个通用常数,而是确立一个因数,该因数可以近似盘算形状所处维度的平方根。因此,例如对于一个 100 维凸形,他们知道更佳直线切割将最多露出出更佳切割约 10 倍的外面积。

露出 10 倍的外面积可能听起来并不是很好。然则,由于高维形状的许多属性都随维数的增进而呈指数增进,相比之下平方根的增进值是适度的。Bubeck 说:「这已经预示着高维中的情形没有很糟糕。」

但研究者们盼望改善这一效果。他们知道 KLS 因子包罗了凸形内随机行为的信息,由于更佳切割越小,随机历程就越难在凸形的周围快速扩散。

例如哑铃这种物体,它由中心狭窄的桥毗邻两侧的两个球形。你可以将其划分为两个相等的部门,其中的桥梁只有一个小切口,这恰恰体现了桥梁是一种瓶颈的观点。一个球中的随机游走器通常需要很长的时间才气到达另一个球,由于它必须找到通过瓶颈的方式。

固然,哑铃不是凸的。哑铃可以有异常小的平面切口(例如从瓶颈切割) ,凸形做不到这一点,但凸形也许可以有异常小的弯曲切口。KLS 料想本质上是在预测高维凸形是否可以包罗一种隐藏的、扭曲的哑铃?从而减慢随机夹杂的速率。

Kannan、Lovász 和 Simonovits 的平方根界线限制了这些隐藏哑铃的扭曲水平。2012 年,以色列数学家 Eldan 通过引入随机局部化(stochastic localization)手艺降低了维度立方根的界线。

借助随机局部化的头脑,可以很容易地证实 KLS 料想是一个高度集中的团块,与哑铃险些一样。通过证实倾斜对凸形没有很大的改变,Eldan 能够盘算出原始形状的 KLS 界线。

几年后,华盛顿大学的研究员 Vempala 和 Yin-Tat Lee 完善了 Eldan 的随机局部化,将 KLS 的因数从维度的平方根降低到维度的四次方根。若是将维度称为 d,则平方根为 d^1 / 2,立方根为 d^1 / 3,四次方根为 d^1 / 4。通过提出一种称为 bootstrapping 的新方式,Lee 和 Vempala 以为他们可以将 KLS 界线一直降低到 d,为其升至 0 次幂加上一点 fudge factor。由于 d^0 始终即是 1,因此以为界线大致是一个常数。

Yin-Tat Lee(左),Santosh Vempala(右)

Lee 和 Vempala 在网上公布了他们的论文。但几天后就被发现其中存在一个破绽,推翻了他们对 d^0 界线的证实。Lee 和 Vempala 迅速公布了修订后的草稿,重新调整到 d^1/4 界线。几年来,研究者们一直以为这就是 KLS 故事的终结。

研究新突破:接纳递归方式来降低 KLS 界线

Lee 和 Vempala 论文引起了华人博士后 Yuansi Chen 的注重,那时他照样加州大学伯克利分校的一名统计学研究生,正在研究随机抽样方式的夹杂率。而随机抽样是许多统计推断中的要害,例如贝叶斯统计。

Lee 和 Vempala 的论文向 Chen 先容了随机局部化的观点。Chen 深入研究论文,花了数周时间试图填补 Lee 和 Vempala 证实中的空缺,但无济于事。

在接下来的几年中,关于若何修改随机局部化的想法会定期泛起在他的脑海中,他会思索几个小时然后放弃。最后,基于 Lee 和 Vempala 的 bootstrapping 方式,Chen 提出使用递归方式来降低 KLS 界线。其理论是:若是你可以让界线异常小,那么就有方式让界线更小。经由频频应用,这种 bootstrapping 方式为 KLS 料想以及 Bourgain 截面问题实现了近似恒定的界线。

Chen 的研究效果显示,凸形的更佳对半切口并没有比更佳的平切口要小许多;也就是说,高维凸形不包罗带有异常窄的桥梁的隐藏哑铃。

从现实的角度来看,这意味着随机游走在凸形中的夹杂速率要比研究人员之前证实的快得多。除此之外,这种明白将有助于盘算机科学家在差别的随机抽样手艺之间举行优先排序——找出最基础的随机游走何时是更好的,以及更庞大但盘算成本更高的算法在何时会显示更好。

当 Chen 将论文上传到 arXiv 上后,便引起了数学家 Klartag 的关注。Klartag 提到:Chen 的论文异常容易验证,可以说是 100% 准确。

数学家 Bo’az Klartag

数学家们一致以为,Bourgain 会由于这项研究而激动不已,就在他 2018 年去世前几个月,仍时常询问截面问题是否已有希望。他在这个问题上花费了快要一生的时间,但都没有解决。令人意外的是,最后这个问题行使统计学解决了。

Yuansi Chen

Yuansi Chen ,本科就读于法国巴黎综合理工学院应用数学专业,2019 年从 UC 伯克利获得统计学博士学位,其博士生导师是著名华裔统计学家、UC 伯克利统计系和电子工程与盘算机科学系终身教授郁彬。Yuansi Chen 现在在瑞士数据科学基金会(ETH Foundations of Data Science)担任博士后。

Yuansi Chen 的主要研究偏向是统计机械学习、优化以及在神经科学中的应用,尤其对域顺应、稳定性、MCMC 采样算法、卷积神经 *** 和盘算神经科学中泛起的统计问题感兴趣。他将在今年春季加入杜克大学统计科学系担任助理教授。

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